江苏公务员考试数学运算排列组合解题法则
2011-02-22 江苏公务员考试网
本文总结了数学运算排列组合解题法则，帮助广大备考2011年江苏公务员考试的考生了解排列组合常见问题及解题方法。
一、捆绑法
精要：所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。
提醒：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
【例题】有10本不同的书：其中数学书4本，外语书3本，语文书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种。
解析：这是一个排序问题，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起。为快速解决这个问题，先将4本数学书看做一个元素，将3本外语书看做一个元素，然后和剩下的3本语文书共5个元素进行统一排序，方法数为，然后排在一起的4本数学书之间顺序不同也对应最后整个排序不同，所以在4本书内部也需要排序，方法数为，同理，外语书排序方法数为。而三者之间是分步过程，故而用乘法原理得。
【例题】5个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法?
解析：先将甲乙两人看成1个人，与剩下的3个人一起排列，方法数为，然后甲乙两个人也有顺序要求，方法数为，因此站队方法数为。
【练习】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序?
注释：运用捆绑法时，一定要注意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求，有的题目有顺序的要求，有的则没有。如下面的例题。
【例题】6个不同的球放到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?
解析：按照题意，显然是2个球放到其中一个盒子，另外4个球分别放到4个盒子中，因此方法是先从6个球中挑出2个球作为一个整体放到一个盒子中，然后这个整体和剩下的4个球分别排列放到5个盒子中，故方法数是。
二、插空法
精要：所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。
提醒：首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。
【例题】若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法?
解析：题中要求AB两人不站在一起，所以可以先将除A和B之外的3个人排成一排，方法数为，然后再将A和B分别插入到其余3个人排队所形成的4个空中，也就是从4个空中挑出两个并排上两个人，其方法数为，因此总方法数。
【例题】8个人排成一队，要求甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种方法?
解析：甲乙相邻，可以捆绑看作一个元素，但这个整体元素又和丙不相邻，所以先不排这个甲乙丙，而是排剩下的5个人，方法数为，然后再将甲乙构成的整体元素及丙这两个元素插入到此前5人所形成的6个空里，方法数为，另外甲乙两个人内部还存在排序要求为。故总方法数为。
【练习】5个男生3个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法?
注释：将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。
【例题】若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，且A和B不能站在两端，则有多少排队方法?
解析：原理同前，也是先排好C、D、E三个人，然后将A、B查到C、D、E所形成的两个空中，因为A、B不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为。
注释：对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。
三、插板法
精要：所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。
提醒：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。
【例题】将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?
解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以讲8个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是。(板也是无区别的)
【例题】有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法?
解析：原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内部空隙，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。因而3个板互不相邻，其方法数为。
【练习】现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。
【例题】将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法?
解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入2个板，分成三组。但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后，与原来的8个球一共10个元素。所有方法数实际是这10个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位置全部放球即可。因此方法数为。
注释：特别注意插板法与捆绑法、插空法的区别之处在于其元素是相同的。
四、具体应用
【例题】一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种?
解析：要关掉9盏灯中的3盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的3盏灯拿出来，这样还剩6盏灯，现在只需把准备关闭的3盏灯插入到亮着的6盏灯所形成的空隙之间即可。6盏灯的内部及两端共有7个空，故方法数为。
【例题】一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共可以有多少总方案?
A、120B、320C、400D、420
解析：考虑一侧的关灯方法，10盏灯关掉3盏，还剩7盏，因为两端的灯不能关，表示3盏关掉的灯只能插在7盏灯形成的6个内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为，总方法数为。
注释：因为两边关掉的种数肯定是一样的(因为两边是同等地位)，而且总的种数是一边的种数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有C符合。
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